英国启动脱欧的时间是在2016年6月23日举行的公投中，该公投被称为“脱欧公投”或“欧洲联盟成员国公投”（EU membership referendum）。在该公投中，英国选民被要求回答一个简单的问题：“你认为英国应该继续留在欧洲联盟还是离开欧洲联盟？”结果显示，51.9%的选民选择了离开欧洲联盟，而48.1%的选民选择了继续留在欧洲联盟。

这一结果意味着英国启动了脱欧程序，开始了与欧洲联盟的脱欧谈判。根据《里斯本条约》第50条，英国政府于2017年3月29日正式向欧洲理事会提交了脱欧通知，这标志着正式启动了脱欧过程。根据脱欧通知，英国和欧洲联盟之间的谈判期限为两年。

随着谈判的进行，英国和欧洲联盟就各种问题展开了艰难的讨论，包括贸易、边境控制、财政事务等。谈判的重点是达成双方对未来关系的协议，以确保在脱欧后维持经济、安全和政治上的良好关系。谈判过程中出现了许多挑战和分歧，但最终在2020年底达成了一份协议，该协议规定了英国和欧洲联盟之间的新关系。

因此，英国在2016年6月23日启动了脱欧，并于2020年底与欧洲联盟达成了新的关系协议。